Calculation of approximated values of the zeta

ゼータの特殊値の近似値計算（メモ）

Leonhard Euler (1707-1783)

（準備中）

切り捨ての場合

+++++,----は、教本の値と異なっているところでの000からの差
?は大きな誤差

ζ(2k)(1-1/2^{2k})
02 1.23370055013616982735431　137
04 1.01467803160419205454625　345
06 1.00144707664094212190647　857
08 1.00015517902529611930298　723
10 1.00001704136304482548818　389 ???
12 1.00000188584858311957590　883
14 1.00000020924051921150010　636
16 1.00000002323715737915670　767
18 1.00000000258143755665977　284
20 1.00000000028680769745558　199
22 1.00000000003186677514044　360
24 1.00000000000354072294392　050
26 1.00000000000039341246691　444
28 1.00000000000004371244859　229
30 1.00000000000000485693682　340
32 1.00000000000000053965957　068
34 1.00000000000000005996217　146
36 1.00000000000000000666246　337
38 1.00000000000000000074027　370
40 1.00000000000000000008225　263
42 1.00000000000000000000913　918
44 1.00000000000000000000101　546
46 1.00000000000000000000011　282
48 1.00000000000000000000001　253

（誤差はただ1箇所）

ζ(2k)（オイラーがこれらの値のリストを持っていたと仮定）
02 1.64493406684822643647241　516
04 1.08232323371113819151600　368
06 1.01734306198444913971451　791
08 1.00407735619794433937868　522
10 1.00099457512781808533714　594 ?
12 1.00024608655330804829863　799 ++++
14 1.00006124813505870482925　854
16 1.00001528225940865187173　257 ???
18 1.00000381729326499983985　646
20 1.00000095396203387279611　315
22 1.00000023845050272773299　000 ??
24 1.00000005960818905125947　961
26 1.00000001490155482836504　123
28 1.00000000372533402478845　705
30 1.00000000093132743241966　818
32 1.00000000023283118336765　054 -
34 1.00000000005820772087902　700
36 1.00000000001455192189104　198
38 1.00000000000363797954737　865
40 1.00000000000090949478402　638
42 1.00000000000022737368458　246 -----
44 1.00000000000005684341987　627
46 1.00000000000001421085482　803
48 1.00000000000000355271369　133 --

ζ(2k)/2^{2k}（上の２つリストの切り捨て値から求まる値）
02 0.41123351671205660911810
04 0.06764520210694613696975
06 0.01589598534350701780804
08 0.00392217717264822007570
10 0.00097753376477325984896 ?
12 0.00024420070472492872273 +
14 0.00006103889453949332915
16 0.00001525902225127271503 ???
18 0.00000381471182744318008
20 0.00000095367522617534053
22 0.00000023841863595259255 ??
24 0.00000005960464832831555
26 0.00000001490116141589813
28 0.00000000372529031233986
30 0.00000000093132257548284
32 0.00000000023283064370808 -
34 0.00000000005820766091685
36 0.00000000001455191522858
38 0.00000000000363797880710
40 0.00000000000090949470177
42 0.00000000000022737367545 -
44 0.00000000000005684341886
46 0.00000000000001421085471
48 0.00000000000000355271368 -

四捨五入の場合

++++,----は、教本の値と異なっているところでの500からの差
?は大きな誤差

ζ(2k)(1-1/2^{2k})
02 1.23370055013616982735431　137
04 1.01467803160419205454625　345
06 1.00144707664094212190647　857 -------
08 1.00015517902529611930298　723 ----
10 1.00001704136304482548818　389
12 1.00000188584858311957590　883 ---------
14 1.00000020924051921150010　636 --
16 1.00000002323715737915670　767 -----
18 1.00000000258143755665977　284
20 1.00000000028680769745558　199
22 1.00000000003186677514044　360
24 1.00000000000354072294392　050
26 1.00000000000039341246691　444
28 1.00000000000004371244859　229
30 1.00000000000000485693682　340
32 1.00000000000000053965957　068
34 1.00000000000000005996217　146
36 1.00000000000000000666246　337
38 1.00000000000000000074027　370
40 1.00000000000000000008225　263
42 1.00000000000000000000913　918 --------
44 1.00000000000000000000101　546
46 1.00000000000000000000011　282
48 1.00000000000000000000001　253

（四捨五入が簡単なところで誤っており、四捨五入で求めたわけではないことが分かる。）

ζ(2k)/2^{2k}
02 0.41123351671205660911810　379
04 0.06764520210694613696975　023
06 0.01589598534350701780803　934
08 0.00392217717264822007569　798
10 0.00097753376477325984896　205 ?
12 0.00024420070472492872272　915 +
14 0.00006103889453949332915　217
16 0.00001525902225127271502　489 ???
18 0.00000381471182744318008　361
20 0.00000095367522617534053　115
22 0.00000023841863595259254　639 ??
24 0.00000005960464832831555　910 --
26 0.00000001490116141589812　678
28 0.00000000372529031233986　476
30 0.00000000093132257548284　477
32 0.00000000023283064370807　986 -
34 0.00000000005820766091685　554 -
36 0.00000000001455191522857　861
38 0.00000000000363797880710　494
40 0.00000000000090949470177　375
42 0.00000000000022737367544　328
44 0.00000000000005684341886　081
46 0.00000000000001421085471　520 -
48 0.00000000000000355271367　880 -

（切り捨ての場合よりずっと多くの誤差があるとしなければならない。）

以上60番目までのベルヌーイ数、a=10でオイラー－マクローリン法で計算した。もちろんaの値を大きくしたほうが収束がより早い。

2k=2での誤差：10^-26.66未満

素数ベキ和の近似値計算（メモ）

この計算は高い次数から計算して、低次の時はそれらの値を用いる方法を用いている。
どのあたりで計算を変えているのだろうか？

まず、真の近似値は以下の通り。

02 0.452247420041065　50068 +156.50
04 0.076993139764246　84494 +5.16
06 0.017070086850636　51295 +2.5
08 0.004061405366517　83056 -2.8
10 0.000993603574436　98021 -803.98
12 0.000246026470034　54567 -1.5
14 0.000061244396725　46447
16 0.000015282026219　33934
18 0.000003817278703　17499 -
20 0.000000953961124　10362 -
22 0.000000238450445　87670 +
24 0.000000059608185　49833 -
26 0.000000014901554　60631 +
28 0.000000003725334　01091 -
30 0.000000000931327　43155 -4.43
32 0.000000000232831　18331 -
34 0.000000000058207　72087
36 0.000000000014551　92189
（---,+++は、オイラーが与えた値からの差）

s=36, 34, 32
[1/2^s]

02 0.25
04 0.0625
06 0.015625
08 0.00390625
10 0.0009765625
12 0.000244140625
14 0.00006103515625
16 0.000015258789062　5
18 0.000003814697265　625
20 0.000000953674316　40625
22 0.000000238418579　1015625
24 0.000000059604644　775390625
26 0.000000014901161　19384765625
28 0.000000003725290　2984619140625
30 0.000000000931322　574615478515625
32 0.000000000232830　64365386962890625
34 0.000000000058207　6609134674072265625
36 0.000000000014551　915228366851806640625

s=32, 30, 28, 26, 24, 22, 20, 18, 16
[p.237]
A(2)+A(3)-A(6)-B(2)-B(3)+B(6)+1/6^s-(1/25^s+1/35^s+1/49^s)
A(a)=ζ(s)(1-1/a^s), B(a)=1-1/a^s
それぞれの項を少数点以下15桁の切り捨てで与える。
最終項の影響を見るために最終項だけ少数点以下20桁の切り捨て。

02 0.453891391902471　71689 ???
04 0.076993205698789　58289 ???
06 0.017070086856372　24580 ???
08 0.004061405366518　10701 ---
10 0.000993603574436　13435 ???
12 0.000246026470033　98293
14 0.000061244396725　99998 (-)
16 0.000015282026219
18 0.000003817278702
20 0.000000953961124 -1
22 0.000000238450446
24 0.000000059608184
26 0.000000014901555
28 0.000000003725333
30 0.000000000931326 -3
32 0.000000000232830
（---,+++は、オイラーが与えた値からの差）
s=16あたりまで、オイラーが与えた値に近い値が現れる。

s=14, 12, 10, 8
[p.234中段]
高次から低次の値を求める。ただし、高次の値には上で求めた値を用いる。
(小数点以下d桁で計算し、小数点以下15桁で切り捨て)

d=20 （中段）
02 0.452247420041065 +157
04 0.076993139764247 +5
06 0.017070086850637 +2
08 0.004061405366518 -3
10 0.000993603574437 -804
12 0.000246026470035 -2
14 0.000061244396725

d=15　（中段）
02 0.452247420041065 +157
04 0.076993139764247 +5
06 0.017070086850637 +2
08 0.004061405366517 -2
10 0.000993603574437 -804
12 0.000246026470034 -1
14 0.000061244396725
（---,+++は、オイラーが与えた値からの差）

s=10, 8, 6, 4,2
[p.234下段]
高次から低次の値を求める。ただし、高次の値には上で求めた値を用いる。
(小数点以下d桁で計算し、小数点以下15桁で切り捨て)

d=20　(下段)
02 0.452247420041065 +157
04 0.076993139764246 +6
06 0.017070086850637 +2
08 0.004061405366518 -3
10 0.000993603574437 -804

d=15 （下段）
02 0.452247420041065 +157
04 0.076993139764247 +5
06 0.017070086850637 +2
08 0.004061405366518 -3
10 0.000993603574437 -804
（---,+++は、オイラーが与えた値からの差）

次のような値をオイラーが持っていたと推測
（下から計算している。）

02 0.452247420041065 +157
04 0.076993139764246 +6
06 0.017070086850637 +2
08 0.004061405366518 -3
10 0.000993603574437 -804
12 0.000246026470035 -2
14 0.000061244396725
16 0.000015282026219
18 0.000003817278702
20 0.000000953961124 -1
22 0.000000238450446
24 0.000000059608184
26 0.000000014901555
28 0.000000003725333
30 0.000000000931326 -3
32 0.000000000232830
34 0.000000000058207
36 0.000000000014551
（---,+++は、オイラーが与えた値からの差）

つまり、34(～32)までは1/2^s、 16まではp.237の方法、 14から12(～8）ではp.234中段の方法(d=20)、 2,4,6 (8,10)ではp.234下段の方法(d=20)を使っていたものとすれば、以上の値が得られる。こうすれば、非正則素数157の2つの指数62(4と6における誤差）、 110=30*3+20*1（30と20における誤差）とあらわすことができる。また、-3と-2の誤差で、30と20における誤差があることを示しているのかもしれない。（こんな好意的な解釈もありうるということ。）

p.234中段の方法（値はすべてオイラーが与えたもの）で次数2の値を計算すると、

02　　0.452247420041224

となって、オイラーが与えた値

02　　0.452247420041222

と-0.000000000000002 の誤差となる。
それにしてもオイラーが与えたこの数値はずいぶん2が多い。（2は157の非正則指数）

Reg: 2005, Jul 9
Title: Calculation of approximated values of the zeta
Method:webpage
Content:
https://math0.pm.tokushima-u.ac.jp/~hiroki/major/eulercal.html
EP: 55621

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