以下は、少し専門家向けのお話になっています。

1959年、岩澤健吉氏は代数体のＺ_ｐ-拡大という概念を前面に出し、そこでのイデアル類群の振る舞いに関して興味深い定理を示しました。なお、Ｚ_ｐ-拡大Ｋというのはｋ上の無限次元の拡大で、任意の自然数ｎに対してｐ^ｎ次の巡回拡大となるような中間体ｋ_ｎがただ一つ存在しています。興味深い定理とは、ｋ_ｎのイデアル類群の位数のｐの部分が規則的に増えているということです。詳しく言うと、 ｅ_nをｋ_ｎのイデアル類群の位数のｐ部分の指数とすると

と表されるような不変量λ, μ, νが存在するというものです。これらの不変量はＫ／ｋというＺ_ｐ-拡大に対して定まる不変量で、λは線形的増加、μは指数的増加、νは補正項をそれぞれ表しているわけです。

この定理を証明するにあたってもっとも重要なことは、Ｋのイデアル類群に大きなガロア群Ｇａｌ(Ｋ／ｋ)が作用しているということです。この作用の入り方はいろいろあるけれども基本的に位数の増え方は有限の差であり、上のようにならざるを得ないということが加群の議論から分かるのです。

さて、独立なＺ_ｐ-拡大はｋの虚素点の個数をｒとすると少なくともｒ＋１個あります。どのｋにも少なくとも1個のＺ_ｐ-拡大があるわけで、それは円分Ｚ_ｐ-拡大k_∞と呼ばれているものなのです。これはｋにｅ^2πi/pnをすべてのｎについて付け加えた体の部分体で、基本的で重要な拡大です。なお、ｅ^2πi/nが複素平面で半径１の円のｎ等分点にあたることから「円分」といいます。

なお、ｋの独立なＺ_ｐ-拡大の個数はｒ＋１個あると予想され、 「単数群を準ｐ−局所単数群に埋め込んだときの閉包のＺ_ｐランクがもとの単数群のＺランクと同じであろう」というLeopoldt予想と同値です。 ｋが有理数体上のアーベル拡大のときは予想が正しいことがAx, Brumer氏によって 示されています。

では次に有理数体上のアーベル拡大、すなわち円分体を考えましょう。実はこのとき、全ての体、全ての素数ｐに対して、円分Ｚ_ｐ-拡大k_∞のμは0であることがFerrero氏-Washington氏らによって1983年に示されています。これは、円分Ｚ_ｐ-拡大が性質のいいＺ_ｐ-拡大であるということであり、一般にも円分Ｚ_ｐ-拡大のμは0であろうと予想されています。（μが大きくなるＺ_ｐ-拡大の例は、岩澤氏により与えられています。）

一方、λはどうなるでしょうか。まず、ｋの最大実部分体ｋ^＋のλ不変量をλ^＋と書いてλ⁻=λ−λ^＋という量を考えます。この量は解析的類数公式により、ｐ進Ｌ関数というものを計算する事により求まります。それでは、λ^＋はどうなのでしょうか？これが分かれば、λが求まります。

しかし、この問題はかなり難しい問題で、今のところよく分かっていません。 そのようなわけで、私はこの問題＝総実代数体のGreenberg予想に興味を持っています。なお、λはイデアル類群へのある作用の特性多項式の次数として理解されます。特性多項式がｐ進Ｌ関数に対応するというのが岩澤主予想であり、アーベル体の場合は1983年Mazur氏-Wiles氏により解決され、より一般的なバージョンも数年後Wiles氏によって解決されました。